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随机梯度下降法
为什么使用随机梯度下降法？
如果当我们数据量和样本量非常大时，每一项都要参与到梯度下降，那么它的计算量时非常大的，所以我们可以采用随机梯度下降法。
随机梯度下降法中的学习率必须是随着循环的次数增加而递减的。如果eta取一样的话有可能在非常接近我们的最优值时会跳过，所以随着迭代次数的增加，学习率eta要随之减小，我们可以用模拟退火的思想实现（如下图所示），t0和t1是一个常数，定值，其通常是根据经验取得一些值。
随机梯度下降法的实现
随机梯度下降法的公式如下图所示，其中挑出一个样本出来计算。
先创建x，y，以下取10000个样本
import numpy as np
m = 10000
x = np.random.random(size=m)
y = x*3 + 4 + np.random.normal(size=m)写入函数
def dj_sgd(theta, x_i, y_i): # 传入一个样本，获取对应的梯度
return x_i.T.dot(x_i.dot(theta)-y_i)*2 # MSE
def sgd(X_b, y, initial_theta, n_iters): # 求出整个theta的函数
def learning_rate(i_iter):
t0 = 5
t1 = 50
return t0/(i_iter+t1)
theta = initial_theta
i_iter = 1
while i_iter <= n_iters:
index = np.random.randint(0, len(X_b))
x_i = X_b[index]
y_i = y[index]
gradient = dj_sgd(theta, x_i, y_i) # 求导数
theta = theta - gradient*learning_rate(i_iter) # 求步长
i_iter += 1
return theta调用函数，求出截距和系数
以上随机梯度的缺点是不能照顾到每一点，因此需要进行改进。
以下对其中的函数进行修改。
def dj_sgd(theta, x_i, y_i): # 传入一个样本，获取对应的梯度
return x_i.T.dot(x_i.dot(theta)-y_i)*2 # MSE
def sgd(X_b, y, initial_theta, n_iters): # 求出整个theta的函数
def learning_rate(i_iter):
t0 = 5
t1 = 50
return t0/(i_iter+t1)
theta = initial_theta
m = len(X_b)
for cur_iter in range(n_iters): # 每一次循环都把样本打乱，n_iters的代表整个样本看几轮
random_indexs = np.random.permutation(m)
X_random = X_b[random_indexs]
y_random = y[random_indexs]
for i in range(m):
theta = theta - learning_rate(cur_iter*m+i) * (dj_sgd(theta, X_random[i], y_random[i]))
return theta与前边运算结果进行对比，其耗时更长。