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Python中的魔法函数与量子计算模拟怎么实现

时间:2024-7-6 09:30     作者:韩俊     分类: Python


这篇“Python中的魔法函数与量子计算模拟怎么实现”文章的知识点大部分人都不太理解,所以小编给大家总结了以下内容,内容详细,步骤清晰,具有一定的借鉴价值,希望大家阅读完这篇文章能有所收获,下面我们一起来看看这篇“Python中的魔法函数与量子计算模拟怎么实现”文章吧。

    量子计算模拟背景

    ProjectQ是一个非常优雅的开源量子计算编程框架,其原作者是来自与瑞士联邦理工的博士Damian和Thomas。该量子计算编程框架是一个从量子计算应用->量子线路编译->哈密顿量模拟->量子计算模拟->量子硬件API对接都有相应实现的、非常全面的量子计算编程框架。支持使用pip进行安装:python3 -m pip install projectq --upgrade。

    下面来看一个例子,关于如何使用projectq进行量子计算的模拟:

    [dechin@dechin-manjaro simulator]$ ipython
    Python 3.8.5 (default, Sep  4 2020, 07:30:14) 
    Type 'copyright', 'credits' or 'license' for more information
    IPython 7.19.0 -- An enhanced Interactive Python. Type '?' for help.
     
    In [1]: from projectq import MainEngine
     
    In [2]: from projectq.ops import X
     
    In [3]: eng = MainEngine()
     
    In [4]: qubits = eng.allocate_qureg(2)
     
    In [5]: X | qubits[0]
     
    In [6]: from projectq.ops import CX
     
    In [7]: CX | (qubits[0], qubits[1])
     
    In [8]: eng.flush()
     
    In [9]: print (eng.backend.cheat()[1])
    [0j, 0j, 0j, (1+0j)]

    在这个案例中,我们一共分配了2个量子比特,这2个比特的初始状态都是|0⟩态,对应于projectq输出的amplitude矢量应为[1, 0, 0, 0]。这个矢量中的4个元素,分别对应00,01,10,11这四个量子态可能出现的概率幅,如果需要计算某一个态被测量所出现的概率的话,需要对其进行取模平方操作:

    P(00)=(a00+b00i)(a00−b00i)

    注意概率幅是一个复数(Complex Number),因此需要取厄米共轭之后再进行点乘操作。

    那么回到上述projectq的使用案例,这个案例在分配了两个比特之后,对其中的第一个比特执行了泡利矩阵σX操作,然后又执行了一个纠缠门操作CX。这里CX(i,j)量子门操作对应的操作为:如果量子比特i处于|0⟩态,不进行任何的操作;但是如果量子比特i出于|1⟩态,则对量子比特j执行取反操作,也就是说,如果原来j是|0⟩就会变成|1⟩,如果原来j是|1⟩就会变成|0⟩。这就是量子纠缠在量子计算中的作用,而多比特的门操作在实际的硬件体系中的高质量实现,目前依旧是一大难题。而量子叠加特性就体现在,一个量子比特可能处于|0⟩态,也可能处于|1⟩态,还有可能处在|0⟩和|1⟩的中间态,这种中间态会以上述提到的概率幅的形式来对|0⟩和|1⟩进行划分:

    P(0)=(a0+b0i)⋅(a0−b0i)

    P(1)=(a1+b1i)⋅(a1−b1i)

    这些的概率幅就可以用一个矢量的形式组织起来:

    |ψ⟩=(a0+b0i,a1+b1i)T

    最终这个矢量的元素个数会随着比特数的增加而指数增长,当比特数增长到41时,所需要存储的内存空间需要32TB以上!要注意的是,因为计算过程中需要将所有的概率幅加载到内存中,所以这里区别于硬盘存储空间,单指内存就需要到32TB的大小!因此,使用经典计算机去模拟量子计算,其实是一种非常消耗资源的手段。当然,量子计算模拟器依然有其研究的价值,在现阶段量子芯片规模和质量无法提升的状态下,模拟器就起到了重要的作用。

    Python的魔法函数实现

    如果读者需要了解详细全面Python的魔法函数的实现方案,可以从本文的参考链接中获取两篇不错的文章。这里我们仅针对上述projectq的代码用例中所可能使用到的部分功能:__or__和__str__,并且可以针对其进行一个简单的复现。

    Python的魔法函数可用于定义一个类(class)的特殊运算算符,如:类的加减乘除等,在引入魔法函数之后,就不需要单独对类中的元素进行操作,而可以用魔法函数对操作进行封装。最后的效果,我们可以直接在代码中使用操作符对不同的类进行操作,比如可以自定义class1 + class2这样的二元操作算符。在本章节我们不详细展开介绍,可以参考下述的具体使用示例或者参考链接中的博文。

    量子态定义及实现

    根据第一个章节中对量子态矢量的介绍,这里我们可以实现一个简单的量子态的类,我们可以仅考虑两个量子比特的简单系统:

    # QubitPair.py
    import numpy as np
     
    class QubitPair:
        def __init__(self):
            self.state = np.array([1, 0, 0, 0], dtype=complex)
     
        def __str__(self):
            return str(self.state)

    这个量子态的类的定义非常简单,就是一个4×1的矩阵。需要补充说明的是,这里我们定义了一个__str__(self)的魔法函数,该函数主要用于打印类的字符串表示,如我们这里直接将量子态矢量转化成str格式之后进行输出。那么我们如果去print一个自定义的QubitPair类的话,就会展示当前类所对应的概率幅的字符串表示。

    量子门操作定义及实现

    关于量子门操作,我们可以将其视作作用在量子态矢量上的矩阵,这里我们可以先展示定义好的门操作的Python类再对其进行展开说明:

    # Operator.py
    import numpy as np
     
    class QubitOperator:
        """Pauli rotations and entanglement on qubit-pair"""
        def __init__(self, operation=None, theta=0, index=0):
            self.index = index
            self.name = operation
            paulix = np.array([[0, 1], [1, 0]], dtype=complex)
            pauliy = np.array([[0, -1j], [1j, 0]], dtype=complex)
            pauliz = np.array([[1, 0], [0, -1]], dtype=complex)
            cnot = np.array([[1, 0, 0, 0],
                             [0, 1, 0, 0],
                             [0, 0, 0, 1],
                             [0, 0, 1, 0]])
            if operation == 'X' or operation == 'Rx':
                self.operation = np.cos(theta/2)*np.identity(2)-1j*np.sin(theta/2)*paulix
            elif operation == 'Y' or operation == 'Ry':
                self.operation = np.cos(theta/2)*np.identity(2)-1j*np.sin(theta/2)*pauliy
            elif operation == 'Z' or operation == 'Rz':
                self.operation = np.cos(theta/2)*np.identity(2)-1j*np.sin(theta/2)*pauliz
            elif operation == 'CX' or operation == 'CNOT':
                self.operation = cnot
     
        def __or__(self, qubitpair):
            if self.name == 'CX' or self.name == 'CNOT':
                qubitpair.state = np.dot(self.operation, qubitpair.state)
                return None
            elif self.index == 0:
                operation = np.kron(self.operation, np.identity(2))
            else:
                operation = np.kron(np.identity(2), self.operation)
            qubitpair.state = np.dot(operation, qubitpair.state)

    单位矩阵与泡利矩阵的定义

    这些是基本的泡利矩阵,这三个两能级体系的泡利矩阵具有非常好的物理性质,如都是酉矩阵且存在特殊的对易关系等:

    矩阵指数与旋转门操作

    矩阵的指数计算一般采用泰勒级数展开的方法来进行定义:

    这里如果我们代入上述介绍的泡利矩阵就会得到这样的结果:

    CX门操作的定义

    在上述提到的所有的量子门操作中,CX是唯一的一个两比特量子门操作,也就是同时作用在两个量子比特上面,其矩阵形式的定义如下所示:

    使用魔法函数__or__来实现量子门操作运算

    我们首先简单谈一下为什么要用__or__这个魔法函数而不是其他的二元运算符来实现,这点跟开源库ProjectQ是同步的,理由是我们在量子力学中的运算,一般写成如下的形式:

    |ψt⟩=U|ψ0⟩

    将量子态写成狄拉克符号的形式,中文称为"左矢"和"右矢",英文称之为"bra"和"ket"。因此竖线形式的定义,在形式上会更加契合量子力学的思维,当然,就算是换成其他的符号也是无可厚非的。

    功能测试验证

    在定义了量子态的类和量子门操作的类之后,我们可以写如下所示的一个测试脚本来测试程序的执行效果:

    # TestQubits.py
    from QubitPair import QubitPair
    from Operator import QubitOperator
     
    if __name__ == '__main__':
        qubits = QubitPair()
        print ('The initial state is: {}'.format(qubits))
        QubitOperator('X', 3.1415926, 0) | qubits
        print ('Applying X on the 0th qubit...')
        print ('The new state is: {}'.format(qubits))
        QubitOperator('CX') | qubits
        print ('Applying entanglement on qubits...')
        print ('The new state is: {}'.format(qubits))
        QubitOperator('X', 3.1415926, 0) | qubits
        print ('Applying X on the 0th qubit...')
        print ('The new state is: {}'.format(qubits))
        QubitOperator('CX') | qubits
        print ('Applying entanglement on qubits...')
        print ('The new state is: {}'.format(qubits))

    这个程序的测试逻辑为:先定义一个两比特的量子系统,然后对第一个比特执行X门操作,使得其从|0⟩态变成|1⟩态,再对这两个比特执行纠缠门CX操作,观察其态的变化情况。之后再将第一个比特的状态变回|0⟩态,再观察作用CX的态的变化情况,执行结果如下所示:

    [dechin@dechin-manjaro simulator]$ python3 TestQubits.py
    The initial state is: [1.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j]
    Applying X on the 0th qubit...
    The new state is: [2.67948966e-08+0.j 0.00000000e+00+0.j 0.00000000e+00-1.j
    0.00000000e+00+0.j]
    Applying entanglement on qubits...
    The new state is: [2.67948966e-08+0.j 0.00000000e+00+0.j 0.00000000e+00+0.j
    0.00000000e+00-1.j]
    Applying X on the 0th qubit...
    The new state is: [ 7.17966483e-16+0.00000000e+00j -1.00000000e+00+0.00000000e+00j
     0.00000000e+00-2.67948966e-08j  0.00000000e+00-2.67948966e-08j]
    Applying entanglement on qubits...
    The new state is: [ 7.17966483e-16+0.00000000e+00j -1.00000000e+00+0.00000000e+00j
     0.00000000e+00-2.67948966e-08j  0.00000000e+00-2.67948966e-08j]

    这个结果所展示出来的数字也许比较乱,这是因为在运算过程中的计算精度不足所导致的,这里低于1e-06的数字其实我们可以认为就是0。那么我们从这个结果中可以分析总结出量子态的演变历程:

    |00⟩⇒|10⟩⇒|11⟩⇒|01⟩⇒|01⟩

    注意:上面的这种写法,其实不太合乎程序语言的逻辑,一般从右到左的方向才是从低位到高位的写法。因此,严格来说写法应该是:|00⟩⇒|01⟩⇒|11⟩⇒|10⟩⇒|10⟩。

    标签: python

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